實部大於等於-1/2的算子之研究

給一矩陣(《^3) A (其定義為特徵值皆落在開單位圓盤裡並且滿足rank(/„-A*A)=1)，我們想探討矩陣BsAA-A)1其數值域的性質。我們想證明B的數值域灰(B)將落在複數半平面Re(z)^-1/2内，它的 邊界會有唯一的一條線段Z，而這線段Z會落在ReO：)=-l/2這條線上，並且對於邊界§WCB)\L上的任 意一點\，這個子空間M三{xE (^-.(Bx.x) = Wkll2}會是只有一維，而對於此子空間M裡任意的非 零向量x，這些向量x, Bx, B^x會是線性獨立的。若有這些性質，我們猜測對任意具有實部大 於等於-1/2的n乘n的矩陣C，在么相似(unitary similarity)下必能延展(extend)到此直和算子D®B ㊉…㊉B，此處的D為對角矩陣，其特徵值皆落在Re(z)=-1/2這條線上，而B則為上述形式。顯然， 啊5)是包含PF(C)的。更進一步而言，若灰(C)的邊界證(0碰觸到aW(B)\L，則我們猜測5會是C的 一直和子(direct summand)。這將推廣我們之前對於nilpotent矩陣C所做的結果。